Tugas Polinomial

POLINOMIAL

1.   Pengertian Polinomial

       Polinomial adalah suku banyak yang memuat :

1.  Pangkat bilangan cacah

2.  Variabel

3.  Koefisien

4.  Operasi matematis

5.  Konstanta

   2. Contoh Polinomial

       X³+2x²+3x-6

   3. Contoh Bukan Polinomial

      x¯³+5x¯²-4x-2

         4. Operasi Polinomial

       F(x)= x⁶+9x⁵+5x⁴+2x²+6x+3

       G(x)= 2x³+5x²+3x+5

a.   Penjumlahan f(x)+g(x)

(x⁶+9x⁵+5x⁴+2x²+6x+3)+( 2x³+5x²+3x+5)

=x⁶+9x⁵+5x⁴+2x²+6x+3+2x³+5x²+3x+5

=x⁶+9x⁵+5x⁴+2x³+2x²+5x²+6x+3x+3+5

= x⁶+9x⁵+5x⁴+2x³+7x²+9x+8

b.   Selisih f(x)-g(x)

(x⁶+9x⁵+5x⁴+2x²+6x+3)-( 2x³+5x²+3x+5)

=x⁶+9x⁵+5x⁴+2x²+6x+3-2x³-5x²-3x-5

=x⁶+9x⁵+5x⁴-2x³+2x²-5x²+6x-3x+3-5

= x⁶+9x⁵+5x⁴-2x³-3x²+3x-2

c.   Perkalian f(x).g(x)

(x⁶+9x⁵+5x⁴+2x²+6x+3).( 2x³+5x²+3x+5)

=2x⁹+5x⁸+3x⁷+5x⁶+18x⁸+45x⁷+27x⁶+45x⁵+10x⁷+25x⁶+15    x⁵+25x⁴+4x⁵+10x⁴+6x³+10x²+12x⁴+30x³+18x²+30x+6x³+15x²+9x+15

=2x⁹+23x⁸+58x⁷+57x⁶+64⁵+47x⁴+42x³+43x²+39x+15

        5. Menentukan Nilai Polinomial

       Diketahui suku banyak f(x)= x⁵-2x⁴+X³-10, untuk x=4

a.   Metode Subtitusi

F(x)= x⁵-2x⁴+X³-10

F(x)= (4)5+2(4)⁴+(4)³-10

F(4)= 1024+512+64-10

F(4)= 1590

b.   Teori Horner

 

  1     2     1     0       0      -10

 

              4  0    4    24   100   400   1600

   1    6    25   100   400   1590

                      6. Algoritma Pembagian

       Diketahui f(x)=2x³+4x²+3x+2

                     g(x)= (x-3)

a.   Cara Bagi Bersusun

 

 (x-3)(2x²+1ox+33)+101

=2x³+10x²+33x-6x²-30x-99+101

=2x³+10x^2-6x2+33x-30x-99+101

               =2x³+4x²+3x+2(TERBUKTI)

b.   Teori Horner

 

   2    4      3     2

  

                     3   0     6     30   99 

                  2     8     33   101

     

         7. Teorema Sisa

a.   Teorema sisa I

Jika suku banyak f(x) dibagi (x-k), maka sisa pembaginya adalah f(k).

Contoh soal :

F(x)=X³+2x²+x+2, untuk x=2

·         Metode subtitusi

F(x)=X³+2x²+x+2

F(k)=(k)³+2(k)²+(k)+2

F(2)=(2)³+2(2)²+(2)+2

F(2)=8+8+2+2

F(2)=20

·         Teori Horner

 1     2     1     2

 

                        2  0    4     8     18

                            1      6     9     20

b.   Teorema sisa II

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax-b), maka sisa pembaginya adalah f(b/a).

Contoh soal:

Diketahui f(x)=X³+4x²+2x+3, untuk 2x+1

·         Metode Subtitusi

f(x)=X³+4x²+2x+3

f(b/a)= (b/a)³+4(b/a)²+2(b/a)+3

f(1/2)=(1/2)³+4(1/2)²+2(1/2)+3

f(1/2)=1/8+4/4+2/2+3

f(1/2)=41/8

·         Teori Horner

 

     1     4        2        3

½       0     ½      9/4     17/8

1      9/2    17/4    41/8

c.   Teorema sisa III

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b), maka tersisa p(x)+q. Dimana f(a)= pa+q dan f(b)=pb+q.

Contoh soal:

Diketahui f(x)= x³+2x²-5x+3

                          X2-x-2

Penyelesaian :

X²-x-2=(x-2)(x+1)

A=2

B=-1

F(x)= x³+2x²-5x+3            f(b)=b³+2b²-5b+3

F(a)= a³+2a²-5a+3            f(-1)= -1³+2.(-1)²-5.(-1)+3

F(2)=2³+2.2²-5.2+3           f(-1)=9

F(2)=9

F(a)= p(a)+q                    f(b)=p(b)+q

F(2)=p(2)+q                     f(-1)=p(-1)+q

F(2)=2p+q                       f(-1)=-p+q

  9 = 2p+q                         9  =-p+q

2p+q=9                          -p+q = 9

2p+q=9         2p+q=9         p(x)+q

-p+q=9-       2.0+q=9         0.(x)+q

3p=0                 q=9           q=9

  P=0

Pembuktian 

 

              8.   Teorema Faktor

        Jika suku banyak f(x) suatu suku banyak, maka (x-k) merupakan faktor dari f(x) dan hanya jika f(k)=0.

Contoh soal:

Tunjukkan bahwa (x-2) merupakan faktor dari p(x)=x²+2x-8.

Penyelesaian:

P(x)= x²+2x-8

P(2)=(2)²+2(2)-8

P(2)=4+4-8

P(2)=0

Karena nilai p(2)=0 maka benar bentuk (x-2) adalah faktor dari p(x).

Semoga Bermanfaat:)